マクスウェル方程式

2024(令和6)年7月24日水曜日
マクスウェル方程式など

PDF: PDF
$2024-07-24.pdfをSVGにしたもの$
/feedback/

                = マクスウェル方程式

                

                == 電場のガウスの法則

                

                - 電束密度の発散は電荷密度.

                - 電荷があれば, 電場が発散.

                - $bold(D)$ は電束密度, $rho$ は電荷密度である.

                

                $

                  integral_S bold(D) dot bold(n) d S &= integral_V rho d V\

                  integral_V nabla dot bold(D) d V &= integral_V rho d V\

                  integral_V (nabla dot bold(D) - rho) d V &= 0\

                  nabla dot bold(D) - rho &= 0\

                  nabla dot bold(D) &= rho\

                  "div" bold(D) &= rho

                $

                

                == 磁場のガウスの法則

                

                - 磁束密度の発散は $0$.

                - 磁場は発散しない.

                - $bold(B)$ は磁束密度である.

                

                $

                  integral_S bold(B) dot bold(n) d S &= 0\

                  integral_V nabla dot bold(B) d V &= 0\

                  nabla dot bold(B) &= 0\

                  "div" bold(B) &= 0\

                $

                

                == ファラデー・マクスウェルの法則

                

                - 電場の回転は, 磁束を妨げる方向に磁束密度の時間変化分となる.

                - $bold(E)$ は 電場, $bold(B)$ は磁束密度である.

                

                $

                  integral.cont_C bold(E) dot d bold(r) &= - integral_S (partial bold(B)) / (partial t) dot bold(n) d S\

                  integral_S (nabla times bold(E)) dot bold(n) d S &= - integral_S (partial bold(B)) / (partial t) dot bold(n) d S\

                  integral_S (nabla times bold(E) + (partial bold(B)) / (partial t)) dot bold(n) d S &= 0\

                  nabla times bold(E) + (partial bold(B)) / (partial t) &= 0\

                  nabla times bold(E) &= - (partial bold(B)) / (partial t)\

                  "rot" bold(E) &= - (partial bold(B)) / (partial t)

                $

                

                == アンペール・マクスウェルの法則

                

                - 磁場の回転は, $"電流密度" + "電束密度"bold(D)"の時間変化分"$ となる.

                - $bold(H)$ は 磁場, $bold(J)$ は電流密度, $bold(D)$ は電束密度である.

                

                $

                  integral.cont_C bold(H) dot d bold(r) &= underbracket(integral_S bold(J) dot bold(n) d S, I) + integral_S (partial bold(D)) / (partial t) dot bold(n) d S\

                  integral_S (nabla times bold(H)) dot bold(n) d S &= integral_S bold(J) dot bold(n) d S + integral_S (partial bold(D)) / (partial t) dot bold(n) d S\

                  integral_S (nabla times bold(H) - bold(J) - (partial bold(D)) / (partial t)) dot bold(n) d S &= 0\

                  nabla times bold(H) - bold(J) - (partial bold(D)) / (partial t) &= 0\

                  nabla times bold(H) &= bold(J) + (partial bold(D)) / (partial t)\

                  "rot" bold(H) &= bold(J) + (partial bold(D)) / (partial t)

                $

                

                == $bold(D)$, $bold(H)$, $E$, $bold(M)$, $bold(B)$

                

                $ bold(D) = epsilon_0 bold(E) + underbracket(bold(P), "分極ベクトル") $

                $ bold(H) = 1 / mu_0 bold(B) - underbracket(bold(M), "磁化ベクトル") $

                $ bold(M) = underbracket(chi_m, "磁化率") bold(H) $

                $ bold(B) = mu_0 underbracket(mu_r, 1 + chi_m "(比透磁率)") bold(H) $

                $ E = V / d $

                $ bold(B) = nabla times bold(A) $

                $ "grad" A = nabla A = ((partial A) / (partial x), (partial A) / (partial y), (partial A) / (partial z)) = bold(B) $

                $ "div" bold(A) = nabla dot bold(A) = (partial A_x) / (partial x) + (partial A_y) / (partial y) + (partial A_z) / (partial z) = C $

                

                = ローレンツ力

                

                $ bold(F) = q bold(E) + q bold(v) times bold(B) $

                

                = 電荷保存則 (連続の式)

                

                $ 

                  - d / (d t) integral_V rho d V &= integral_S bold(J) dot bold(n) d S\

                  (partial rho) / (partial t) + nabla dot bold(J) &= 0 

                $

                

                = ガウスの発散定理とストークスの定理

                

                $ integral_S bold(D) dot bold(n) d S = integral_V nabla dot bold(D) d V $

                $ integral.cont_C bold(E) dot d bold(r) = integral_S (nabla times bold(E)) dot bold(n) d S $

                

                = 電気素量

                

                $ e = 1.60217663 × 10^(-19) upright(C) $

                

                = 電磁場のエネルギー保存則

                

                - エネルギー密度の時間変化と, 電磁場のエネルギー ($bold(S)$)の発散 の和が $0$, つまり一定に保たれる.

                

                $ 

                  nabla times bold(H) - (partial bold(D)) / (partial t) &= bold(J)\

                  bold(E) dot (nabla times bold(H) - (partial bold(D)) / (partial t)) &= bold(E) dot bold(J)

                $

                $

                  nabla times bold(E) + (partial bold(B)) / (partial t) &= 0\

                  bold(H) dot (nabla times bold(E) + (partial bold(B)) / (partial t)) &= 0

                $

                $

                  bold(H) dot (nabla times bold(E) + (partial bold(B)) / (partial t)) - bold(E) dot (nabla times bold(H) - (partial bold(D)) / (partial t)) &= - bold(E) dot bold(J)\

                  bold(H) dot (nabla times bold(E)) - bold(E) dot (nabla times bold(H)) + bold(H) dot (partial bold(B)) / (partial t) + bold(E) dot (partial bold(D)) / (partial t) &= - bold(E) dot bold(J)

                $

                $

                  nabla dot (bold(E) times bold(H)) = bold(H) dot (nabla times bold(E)) - bold(E) dot (nabla times bold(H))

                $

                $ 

                  (partial bold(E)^2) / (partial t) &= (partial bold(E) dot bold(E)) / (partial t) = (partial bold(E)) / (partial t) dot bold(E) + bold(E) dot (partial bold(E)) / (partial t) = 2 bold(E) dot (partial bold(E)) / (partial t)\

                  1 / 2 (partial bold(E)^2) / (partial t) &= bold(E) dot (partial bold(E)) / (partial t)

                $

                $ 

                  bold(H) dot (partial bold(B)) / (partial t) + bold(E) dot (partial bold(D)) / (partial t) &= epsilon_0 bold(E) dot (partial bold(E)) / (partial t) + mu_0 bold(H) dot (partial bold(H)) / (partial t) = epsilon_0 / 2 (partial bold(E)^2) / (partial t) + mu_0 / 2 (partial bold(H)^2) / (partial t)\

                  &= partial / (partial t) (1 / 2 epsilon_0 bold(E)^2 + 1 / 2 mu_0 bold(H)^2) = partial / (partial t) (1 / 2 bold(E) dot bold(D) + 1 / 2 bold(B) dot bold(H)) 

                $

                $

                  nabla dot (bold(E) times bold(H)) + partial / (partial t) (1 / 2 bold(E) dot bold(D) + 1 / 2 bold(B) dot bold(H)) &= - bold(E) dot bold(J)\

                  underbracket((partial u) / (partial t), partial / (partial t) (1 / 2 bold(E) dot bold(D) + 1 / 2 bold(B) dot bold(H))) + nabla dot underbracket(bold(S), bold(E) times bold(H)) = underbracket(0, - bold(E) dot bold(J))

                $

                

                = 境界

                

                $ 

                  bold(n) times (bold(H)_1 - bold(H)_2) &= 0\

                  bold(n) dot (bold(B)_1 - bold(B)_2) &= 0

                $

                

                = サイクロトロン

                

                $ 

                  (m v^2) / R &= q v B\

                  omega = v / R &= (q B) / m

                $
マクスウェル方程式 など

マクスウェル方程式など
